BAB I
Pendahuluan
- Latar Belakang
Penggunaan notasi sigma sebagai penyederhanaan bentuk
penjumlahan yang panjang sangat menghemat waktu dan tenaga. Sebagai dasar untuk penulisan deret maka
penggunaan notasi sigma beserta sifat-sifatnya menjadi sangat penting untuk
dipelajari.
Barisan dan deret yang disajikan
meliputi pengertian tentang barisan dan deret, barisan dan deret aritmetika
serta barisan dan deret geometri. Perhitungan
bunga bank, penyusutan nilai barang, merupakan salah satu contoh penerapan dari
barisan dan deret dalam bidang ekonomi. Dalam kehidupan
sehari – sehari , sering menjumpai
sesuatu yang bersifat teratur dan memiliki pola suatu bilangan ? Yaitu seperti kenaikan jumlah penduduk
suatu daerah atau pembelahan suatu sel. Permasalahan seperti tersebut merupakan
contoh dari aplikasi barisan dan deret suatu bilangan. Tidak ketinggalan pula dibahas
tentang konsep awal notasi sigma, barisan dan deret untuk mengingatkan kembali
bahwa matematika berkembang dari hal-hal sederhana yang kemudian berlanjut ke
hal-hal yang lebih kompleks.
- Tujuan
Makalah disusun dengan tujuan untuk lebih
mengenal materi dalam
pembelajaran Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan yang pernah
dipelajari di SMP. Makalah ini dapat dijadikan bahan acuan dalam pembelajaran
semester berikutnya.
- Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi yang dibahas
dalam bahan ajar ini adalah:
1.
Notasi
Sigma
a.
Konsep
notasi sigma
b.
Sifat
– sifat notasi sigma
2. Barisan dan Deret
a. Barisan dan Deret Aritmetika
b. Barisan dan Deret Geometri
Pola Bilangan,
Barisan dan Deret
a. Pola
bilangan
Perhatikan
deretan bilangan-bilangan berikut:
a. 1 2 3 …
b. 4 9 16 …
c. 31 40 21 30 16 …
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan
bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang
dipunyai?
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab
deretan bilangan nomor 1, mempunyai
aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,
bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 =
3.
Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3
+ 1 = 4.
Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab
deretan bilangan nomor 2,
mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2
= 2 2 = 4,
bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,
bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.
Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 =
25.
Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab
deretan bilangan nomor 3,
mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan
pertama – 10 = 31 – 10 = 21,
bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan
ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.
Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30
– 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan
di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan
bilangan tidak tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan bilangan nomor 2,
bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n
= 1, 2, 3, 4.
Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan
secara singkat dengan kata-kata yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud
seperti kedua contoh tadi. Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola
bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25 secara singkat dengan kata-kata. Oleh
karenanya pola bilangan dapat dirumuskan dengan cara-cara lain.
Misalnya:
Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut
bilangan-bilangan segitiga, karena setiap kali dapat digambarkan dengan
bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola segitiga.
Selain itu pola bilangan dapat juga
dirumuskan dengan kalimat matematika. Rumusan pola bilangan dengan kalimat
matematika dapat ditentukan setelah sekian banyak bilangan berpola sama ditata
secara urut.
Rumusan pola bilangan dengan kalimat
matematika adalah rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan
dengan nomor urutnya.
b. Barisan
Perhatikan
bilangan-bilangan yang disusun secara urut berikut ini:
Bilangan ganjil:
1, 3, 5, 7, 9, …
Bilangan
segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …
Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, …
Bilangan ganjil, bilangan segitiga
dan bilangan Fibonacci yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan.
Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang
sama dan tertata secara urut.
Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan
yang unik. Oleh karena itu, barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi
dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya
menyatakan nomor urut suku.
Setiap
bilangan dalam sustu barisan bilangan disebut suku dan biasa
dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut suku). Jadi,
c. Deret
Diketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan
suku-suku barisan itu, yaitu 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut
deret bilangan.
Bila U1, U2, U3,
U4, U5, … disebut barisan bilangan,
maka
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga
n buah suku
pertama biasa
dilambangkan dengan Sn.
A.
Notasi penulisan
deret
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 +
5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3.
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan
bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma).
Notasi Sigma dilambangkan dengan
Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n
Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat ditulis :
= 1 + 2 + 3 + … + 10
Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis :
= 9 + 11 + … + 19
Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n
Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat ditulis :
= 1 + 2 + 3 + … + 10
Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis :
= 9 + 11 + … + 19
Sifat-sifat Notasi Sigma
1. = na
2. = a1 + a2 + … + an
3. = a
4. = 1 + 2 + 3 +… + n
4. = 1 + 2 + 3 +… + n
5. =
6. = +
6. = +
Deret Aritmatika
1. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan-barisan berikut:
1, 4, 7, 10, … dan
100, 90, 80, 70, …
Barisan pertama dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan
bilangan di atas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).
Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk
setiap nilai n bilangan asli berlaku:
U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak
bergantung pada n.
Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya
diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap
kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda.
Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun.
2. Menentukan
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika.
Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n
kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:
Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah
Un = a + (n – 1)b
Sifat-sifat suku ke-n
Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a –
b).
Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n,
dengan n bilangan asli.
3. Menentukan Jumlah n Suku dari
Deret Aritmatika
Pada bahasan
sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku
barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret
aritmatika.
Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 +
U3 + U4 + U5 + … disebut deret aritmatika.
Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn,
maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un.
Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah
dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang
pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai
berikut:
S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
S100 = 100 + 99 + … + 2 + 1
+
2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 101
2S100 = 100 + 101
Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang
pertama adalah 5050.
Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret
aritmatika, yaitu:
Atau
Sn = a + (a + b) + (a +
2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.
Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan
dibalik sehingga:
Sn = a + (a + b) + (a + 2b)
+ … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un.
Sn = Un +
(Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) +
(a + 2b) + a
+
2Sn = (a + Un) + (a + Un)
+ (a + Un) + … + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
Gambar 1.3 hal 174
Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + Un)
2Sn = n (a + Un)
Sn =
Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah
Sn = atau Sn =
Catatan :
Un = a + (n – 1)b
Sifat-sifat Sn = = =
Jadi, Sn merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan
asli.
Contoh 1.1
Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….
Penyelesaian:
Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh
karena itu dengan menggunakan rumus Sn =
diperoleh S25 = [2(3) + (25 -1)(3)]
= [6 + 24(3)]
= (6 + 72)
= 25 (39)
= 975.
Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.
Contoh 1.2
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil
antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil
di antara 50 dan 100, pertama-tama
kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di
antara 50 dan 100, yaitu n
dengan menggunakan rumus:
Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku
pertama suatu barisan aritmatika,
Sn =
diperoleh:
S25 = [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
Contoh 1.3
Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …
Carilah :
a. rumus suku ke-n,
b. rumus jumlah n suku pertama,
dan
c. jumlah 20 suku pertama.
Penyelesaian:
a. Diketahui a = 1, dan b =
3
Un =
a + (n – 1)b
= 1 + (n – 1)3
= 3n – 1
b. Jumlah n suku pertama
Sn =
=
=
c. Jumlah 20 suku pertama
= 600 – 10 = 590
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.
Contoh 1.4
Hitunglah jumlah
deret aritmatika 3+ 8 + 13 + … + 98
Penyelesaian:
Diketahui n = 3, b = 5 dan Un = 98
Un = a + (n – 1)b
98 = 3 + (n – 1)5
98 = 5n – 2
5n – 2 = 98
5n = 100
n = 20
S20 =
Sn =
= 1010
Jadi, Sn adalah
1010
A.
Barisan dan Deret
geometri
1.
Pengertian barisan geomatri
Perhatikan contoh barisan geometri berikut
a.
2, 4, 8, 16, … rasionalnya
b.
2, -6, 18, -54, … rasionalnya
c.
320, 80, 20, 5, … rasionalnya
Barisan tersebut merupakan barisan geometri. Pada setiap barisan bilangan
di atas, pembanding dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).
Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan geometri jika untuk setiap
nilai n bilangan asli berlaku:
dengan r suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.
Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan yang
tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi
dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap itu disebut pembanding atau rasio
yang dilambangkan dengan huruf r.
Jika > 1, artinya r < -1 atau r > 1, maka suku-suku barisan
geometri itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik
(contoh a dan b). Jika < 1, artinya -1 < r < 1, maka suku-suku barisan
geometri itu semakin kecil. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun (contoh c dan
d).
2.
Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Jika suku pertama U1,
dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio yang
dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan Un, maka kita
dapat merumuskanya dengan:
Dari keterangan di
atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah Un =
arn-1
Sifat-sifat
suku-suku ke-n barisan geometri Un = arn-1 adalah
fungsi eksponen dari n.
3.
Deret Geometri
Jika a, ar, ar2, ar3, … arn-1 adalah
barisan geometri, maka
a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1 disebut
deret geometri.
Deret geometri adalah penjumlahan
suku-suku dari barisan geometri.
Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn,
maka dapat ditulis:
Sn = a + ar + ar2 +
ar3 + … arn-1
Kita kalikan persamaan di atas dengan r,
diperoleh
r Sn = ar + ar2 +
ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
kita kurangkan
Sn = a + ar + ar2 +
ar3 + … arn-1
r Sn = ar + ar2 +
ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
-
Sn – r Sn =
a – arn
(1 – r)Sn = a(1 – rn)
Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan
dengan rumus:
rumus untuk barisan turun atau < 1,
dan
rumus untuk
barisan naik atau > 1.
Contoh 1.5
Apakah barisan-barisan berikut merupakan
barisan geometri. Jika merupakan
barisan geometri, tentukan rasionya.
a. 2, 4, 8, 16, ….
b. 3, 5, 7, 9,…….
Penyelesaian:
a. 2, 4, 8, 16, …. adalah barisan geometri
dengan rasio 2, sebab
b. 3, 5, 7, 9,…. bukan deret geometri, sebab
. Contoh
1.6
Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 +
36 + 108 + …
Penyelesaian:
4 + 12 + 36 + 108 + …
,
S7 =
4372
Jadi, jumlah 7 suku pertama deret
geometri adalah 4372.
Contoh 1.7
Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6
+ 18 + … + 4374
Penyelesaian:
Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
2 . 3n-1 = 4374
3n-1 =
3n-1 = 2187
3n-1 = 37
n – 1 = 7
n = 8
S8
=
= 6560
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret
geometri adalah 6560.
Deret Geometri Tak Hingga
Pada deret
geometri, untuk n ~ maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga.
Jadi,
Deret Geometri tak
berhingga adalah penjumlahan dari
U1 +
U2 + U3 + … Un , atau jika
ditulis dengan notasi adalah
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rn à 0
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rn à 0
Deret tersebut akan
konvergen (mempunyai jumlah) jika -1 < r < 1, dan mempunyai jumlah :
dengan -1 < r < 1
dengan -1 < r < 1
Bila r tidak
terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak
mempunyai jumlah)
A.
Penerapan Konsep
Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah
Untuk menyelesaikan
soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk barisan bilangan,
lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri.
Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai.
Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun
geometri.
Deret aritmatika
Un = a + (n – 1)b
Sn =
Deret Geometri
Un = arn-1
untuk < 1 dan untuk > 1.
Contoh 1.9
Dalam suatu gedung
pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya
memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya. Bila dalam gedung itu
terdapat sepuluh baris kursi. Tentikanlah:
1.
a.
banyaknya kursi pada baris ke-10.
b.
banyaknya kursi
dalam gedung itu.
Penyelesain:
a.
barisanya adalah 30, 34, 38, 42, … adalah barisan aritmatika
U10 = a + (n – 1)b
= 30 + (10 – 1)4 = 30 +
36 + = 66
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-10
adalah 66 kursi.
b. Kita
gunakan rumus deret aritmatika
S10 =
=
Jadi, banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi.
Contoh1.10
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun
tebu. Penghasilan kebun
tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya
dengan pupuk kandang. Pak
Arman memperkirakan bahwa setiap akhir
tahun, penghasilan kebun tebunya
naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan
penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun
tebu Pak Arman setiap akhir
tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-,
dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun
tebu Pak Arman setiap
akhir tahun adalah tetap, maka untuk
menentukan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat
menerapkan rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp
500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp 8.500.000,-
KESIMPULAN
·
Barisan U1, U2, U3, …, Un, …. disebut
barisan aritmatika jika Un – Un-1 = konstan.
·
Un disebut unsur ke n barisan itu, dan
konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
·
Jika U1, U2, U3, …,
Un, …. merupakan barisan aritmatka dengan beda b
dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur
ke n dari barisan itu adalah
Un = a + (n – 1)b
·
Jika U1, U2, U3, …,
Un, …. merupakan barisan aritmatka, maka
U1 + U2 + U3 + … + Un, ….
disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari
deret itu.
·
Jumlah n suku deret
aritmatika dengan beda b dan unsur pertama U1 = a
adalah
Sn = n[2a + (n -1)b].
Ø Barisan U1, U2, U3,…, Un,…
disebut barisan geometri jika konstan,
dengan n = 2, 2, 3,….
Ø Konstanta pada barisan
geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering
dinotasikan dengan r.
Ø Rumus unsur ke n barisan geometri U1,
U2, U3, U4,…, Un,…. dengan U1 = a dan rasio r adalah Un = arn-1
Ø Jika U1, U2, U3, …, Un,…. merupakan
barisan geometri dengan unsure pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2
+ U3 + … + Un
disebut deret geometri dengan Un = arn-1
Ø Rumus jumlah n suku pertama
deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah untuk <
1 dan untuk > 1.
Ø Jumlah tak hingga suatu
deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah dengan -1
< r < 1
Tidak ada komentar:
Posting Komentar